VoiceOverの困りごとはここで検索! スマートアクセシビリティに寄せられた質問とアドバイスは、きっとあなたの助けにもなります。例えば、『LINE』と入力して検索すれば、LINEに関する情報が表示されます。情報が見つからなかったときは、キーワードをローマ字にしたり、短い言葉に替えてみましょう。

Game Centerアカウントのニックネームを変えたいんですけどうまく代えられません。 設定からゲームセンター、そしてニックネームのところを押すとテキストの編集画面になってそこに変えたいニックネームを打ち込んで「完了」を押すであってますか?

操作は大丈夫そうです、。試しに、 太郎 で入力してみました。
そうするとテキストフィールドから少し右に行ったところにこのニックネームは使用できません。
別の名前を入力してください。と表示されてました。
警告メッセージではないので少しわかりにくいですね。
別の名前で試してみるとよさそうです。