知人から、メールに記載されているURLをタップしても開かず、ブラウザに手入力する必要がある、という情報を受けました。私にも同じURLが記載されたメールが届いていたので試してみたところ、ダブルタップでリンクを開くことができました。iOSは知人も私も同じです。なぜ知人は開けず、私は開けたのでしょうか？メール本文のURLをリンクとして認識する設定などはありますか？

そのような設定はメールにはありません。
お互いにiPhoneに標準搭載されているメールアプリを使用しているか確認してみましょう。
Gmailアプリの場合、URLをダブルタップしても開かない事例が報告されています。
メッセージアプリでも、リンクをダブルタップして開けることがありますが、もし開けない場合は、ローターを「リンク」に合わせ下方向にスワイプし、URLが読み上げられたらダブルタップすることで開くことができます。
参考：
https://voc-jp.org/2023/03/%e5%8f%97%e4%bf%a1%e3%83%a1%e3%83%83%e3%82%bb%e3%83%bc%e3%82%b8%e3%81%ae%e3%83%aa%e3%83%b3%e3%82%af%e3%81%ab%e3%81%a4%e3%81%84%e3%81%a6%e3%81%ae%e8%b3%aa%e5%95%8f%e3%81%a7%e3%81%99%e3%80%82%e3%83%a1/